λ=3表示了平均值，P则表示了这一小时的时间段来了k个人的概率大小，e是自然常数。在泊松眼中，这家小店一小时内恰好来了3位顾客（平均水平）可能性是22.4%，而一个人没来的概率是4.98%，来了很多人的概率同样存在，但可能性很小，比如来了10个人的概率是0.08%，其它人数的概率也可以一一算出，像下图中所显示的那样。

　　在现实中，泊松概率分布其实无处不在，很多真实数据都和这一分布惊人的相似。其中包括了核物质每秒放射性衰变的次数，地震等自然灾害发生的次数，公共场所排队的人数，机器出现的故障数，每年飞机坠毁次数，某地区患病的人数，城市各区域犯罪案件发生数量，甚至是普法战争期间普鲁士士兵被马踢死的人数等等。

　　对此，各种网游桌游的玩家一定不会陌生，而在更遥远的时代，方便面里赠送的《水浒传》英雄卡上也都标记了每位好汉的攻击力和防御力。很显然，一等球队攻击力强，防守脆弱性低，二等球队攻击力弱，防守脆弱性低，或者反之，最差的一类球队攻击力弱，防守脆弱性高。

　　假设说A队攻击力是12，防守脆弱性是0.1，B队攻击力是6，防守脆弱性是0.2，两队的“正常”比分是2.4:0.6, 也就是约为2:1。但足球是圆的，我们只能认为2:1是最有可能比分，还有其它各种可能性，于是就将A队的进球数的不确定性看作一个以2.4为平均值的泊松概率分布，B队的看作是一个以0.6为平均值的泊松概率分布，各种可能比分的概率大小取决于两个进球数概率值的乘积。

　　当然一个最关键的问题还没有说，每个球队的攻击力和防守脆弱性的值大小到底怎么确定呢？

　　答案是根据最近几年来各队之间的历史战绩，不断调整两个数值，使得预测的比分概率分布与实际记录的统计分布尽可能吻合。这样，在世界杯上任何两支球队之间交手时，各种比分出现的可能性都已经事先可以大致预测出来，模拟整个赛程，最后确定世界杯各队的夺冠概率也就成为了可能。

　　泊松概率分布在光学领域也是个“常客”，不过更是个经常制造麻烦的“刺头”。概率的不确定性给足球比赛带来的是惊喜，悬念和刺激，给光学成像带来的更多是带来难以忍受的捣乱噪声信号。

　　一束光可以看作是由很多个微小光子组成的，均匀照亮一张白纸后，看似纸上各处强度都很一致，但实际上纸的每个位置反射的光子数量会各不相同，而光子数量的多少也对应着光照明暗的差异。即使同一位置，不同时刻反射的光子数量也会不断有涨落起伏，都遵循着泊松概率分布。

　　对于相机来说，每次落到传感器上的光子数分布同样具有泊松概率的不确定性，不可避免引入了散粒噪声[3](下图左)，并且几乎无论怎样完善地设计一款相机，都无法直接去除这种噪声。根据泊松概率分布公式，光子数相比于平均数量上下起伏的波动程度大小会随着光子数平均值的平方根增大而增大，但光子数平均值正比于想要接收信号的大小，所以当光强度变大（光子数增加）时，虽然散粒噪声在变大，信号与噪声的比例(信噪比)却也会变大，最后看到的图像整体还是会更清晰。

　　假设说A队攻击力是12，防守脆弱性是0.1，B队攻击力是6，防守脆弱性是0.2，两队的“正常”比分是2.4:0.6, 也就是约为2:1。但足球是圆的，我们只能认为2:1是最有可能比分，还有其它各种可能性，于是就将A队的进球数的不确定性看作一个以2.4为平均值的泊松概率分布，B队的看作是一个以0.6为平均值的泊松概率分布，各种可能比分的概率大小取决于两个进球数概率值的乘积。

　　当然一个最关键的问题还没有说，每个球队的攻击力和防守脆弱性的值大小到底怎么确定呢？

　　答案是根据最近几年来各队之间的历史战绩，不断调整两个数值，使得预测的比分概率分布与实际记录的统计分布尽可能吻合。这样，在世界杯上任何两支球队之间交手时，各种比分出现的可能性都已经事先可以大致预测出来，模拟整个赛程，最后确定世界杯各队的夺冠概率也就成为了可能。

　　泊松概率分布在光学领域也是个“常客”，不过更是个经常制造麻烦的“刺头”。概率的不确定性给足球比赛带来的是惊喜，悬念和刺激，给光学成像带来的更多是带来难以忍受的捣乱噪声信号。

　　一束光可以看作是由很多个微小光子组成的，均匀照亮一张白纸后，看似纸上各处强度都很一致，但实际上纸的每个位置反射的光子数量会各不相同，而光子数量的多少也对应着光照明暗的差异。即使同一位置，不同时刻反射的光子数量也会不断有涨落起伏，都遵循着泊松概率分布。

　　对于相机来说，每次落到传感器上的光子数分布同样具有泊松概率的不确定性，不可避免引入了散粒噪声[3](下图左)，并且几乎无论怎样完善地设计一款相机，都无法直接去除这种噪声。根据泊松概率分布公式，光子数相比于平均数量上下起伏的波动程度大小会随着光子数平均值的平方根增大而增大，但光子数平均值正比于想要接收信号的大小，所以当光强度变大（光子数增加）时，虽然散粒噪声在变大，信号与噪声的比例(信噪比)却也会变大，最后看到的图像整体还是会更清晰。

　　参考文献：

　　[1]Penn, Matthew J., and Christl A. Donnelly. "Analysis of a double Poisson model for predicting football results in Euro 2020." Plos one 17.5 (2022): e0268511.

　　[2]D. Adam, “Science and the World Cup: how big data is transforming football,” Nature 611, 444-446 (2022)

　　[3]https://en.wikipedia.org/wiki/Shot_noise

　　[4] Li, Xinyang, et al. "Real-time denoising enables high-sensitivity fluorescence time-lapse imaging beyond the shot-noise limit." Nature Biotechnology (2022): 1-11.

　　[5]Y. Hu, X. Peng, T. Li and H. Guo, “On the Poisson approximation to photon distribution for faint lasers,” Physics Letters A 367(3), 173-176 (2007).